Решите неравенство.
X-5/4-x больше либо равно 0

Для того чтобы решить неравенство $\frac{x - 5}{4 - x} \geq 0$, давайте рассмотрим его пошагово.

Шаг 1. Определим область определения выражения.

Первое, что нужно заметить, это то, что дробь $\frac{x - 5}{4 - x}$ определена только в том случае, если знаменатель не равен нулю. То есть, нужно исключить значение $x = 4$, так как при $x = 4$ знаменатель $4 - x = 0$.

Таким образом, область определения — это $x \neq 4$.

Шаг 2. Анализ знаков дроби.

Нам нужно решить неравенство $\frac{x - 5}{4 - x} \geq 0$. Для этого определим, при каких значениях $x$ числитель и знаменатель будут иметь одинаковый знак (в таком случае дробь будет положительной или равной нулю), и когда они будут иметь противоположные знаки.

• Числитель $x - 5$ меняет знак в точке $x = 5$. При $x > 5$ числитель положительный, при $x < 5$ — отрицательный.
• Знаменатель $4 - x$ меняет знак в точке $x = 4$. При $x < 4$ знаменатель положительный, при $x > 4$ — отрицательный.

Шаг 3. Построим промежутки на числовой оси.

Рассмотрим следующие промежутки, определенные точками $x = 4$ и $x = 5$:

• $(-\infty, 4)$
• $(4, 5)$
• $(5, +\infty)$

Теперь проверим знак дроби на этих промежутках.

1. Для $x < 4$ (например, $x = 0$):

   • Числитель: $x - 5 = 0 - 5 = -5$ (отрицательный).
   • Знаменатель: $4 - x = 4 - 0 = 4$ (положительный).
   • Дробь $\frac{-5}{4}$ отрицательная.

2. Для $4 < x < 5$ (например, $x = 4.5$):

   • Числитель: $x - 5 = 4.5 - 5 = -0.5$ (отрицательный).
   • Знаменатель: $4 - x = 4 - 4.5 = -0.5$ (отрицательный).
   • Дробь $\frac{-0.5}{-0.5} = 1$ положительная.

3. Для $x > 5$ (например, $x = 6$):

   • Числитель: $x - 5 = 6 - 5 = 1$ (положительный).
   • Знаменатель: $4 - x = 4 - 6 = -2$ (отрицательный).
   • Дробь $\frac{1}{-2}$ отрицательная.

Шаг 4. Учитываем равенство нулю.

Дробь будет равна нулю, если числитель равен нулю, то есть $x - 5 = 0$, что даёт $x = 5$. В точке $x = 5$ выражение равно нулю, и это удовлетворяет неравенству $\geq 0$.

Шаг 5. Итоговый ответ.

Из анализа знаков получаем, что неравенство выполняется на промежутках:

• $(4, 5]$, так как на этом промежутке дробь положительная или равна нулю.
• Точка $x = 4$ исключена, так как в ней выражение не определено.

Ответ: $x \in (4, 5]$.