При каких значениях параметра a уравнение (a-2)x² - 2ax + 2a - 3 = 0 имеет только один корень?

Рассмотрим уравнение:

Необходимо найти все значения параметра $a$, при которых уравнение имеет только один корень.

Решим задачу, рассмотрев два возможных случая.

1. Случай, когда $a-2\neq 0$

В этом случае уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень, если его дискриминант равен нулю:

В нашем уравнении:

Вычислим дискриминант:

Раскроем скобки:

Приравняем дискриминант к нулю:

Разделим обе части на $-4$:

Разложим на множители:

Отсюда получаем:

Оба значения удовлетворяют условию $a-2\neq 0$.

2. Случай, когда $a-2=0$

Если $a=2$, коэффициент при $x^2$ обращается в ноль, и исходное уравнение становится линейным:

Полученное линейное уравнение имеет ровно один корень. Следовательно, значение $a=2$ также подходит.

Ответ

Объединяем все найденные значения параметра:

Итог: уравнение имеет только один действительный корень при $a=1$, $a=2$ или $a=6$.