Найдите первые три слагаемых в биномиальном разложении при возрастании степени х и запишите коэффициент при х: 1) (3x +1)^5 2) (1- x)^5​

Давайте рассмотрим каждое из заданий отдельно и найдем первые три слагаемых в биномиальном разложении, а затем определим коэффициент при $x$.

1. $(3x + 1)^5$

Биномиальная формула разложения:

Для $(3x + 1)^5$:

• $a = 3x$, $b = 1$, $n = 5$

Рассчитаем первые три слагаемых (при $k = 0, 1, 2$):

1. Для $k = 0$:

   $$\binom{5}{0} (3x)^5 (1)^0 = 1 \cdot (3x)^5 = 243x^5$$

2. Для $k = 1$:

   $$\binom{5}{1} (3x)^4 (1)^1 = 5 \cdot 81x^4 = 405x^4$$

3. Для $k = 2$:

   $$\binom{5}{2} (3x)^3 (1)^2 = 10 \cdot 27x^3 = 270x^3$$

Первое, второе и третье слагаемые:

Коэффициент при $x$ равен 0, так как $x^1$ не входит в первые три слагаемых.

2. $(1 - x)^5$

Биномиальная формула разложения:

Для $(1 - x)^5$:

• $a = 1$, $b = -x$, $n = 5$

Рассчитаем первые три слагаемых (при $k = 0, 1, 2$):

1. Для $k = 0$:

   $$\binom{5}{0} (1)^5 (-x)^0 = 1 \cdot 1 = 1$$

2. Для $k = 1$:

   $$\binom{5}{1} (1)^4 (-x)^1 = 5 \cdot (-x) = -5x$$

3. Для $k = 2$:

   $$\binom{5}{2} (1)^3 (-x)^2 = 10 \cdot x^2 = 10x^2$$

Первое, второе и третье слагаемые:

Коэффициент при $x$ равен -5.

Итоги:

1. Для $(3x + 1)^5$: первые три слагаемых — $243x^5 + 405x^4 + 270x^3$, коэффициент при $x$: 0.
2. Для $(1 - x)^5$: первые три слагаемых — $1 - 5x + 10x^2$, коэффициент при $x$: -5.