Доказать, что [tex]\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3[/tex]

Обозначим

\[x=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}.\]

Возведём обе части в куб:

\[x^3=9+\sqrt{80}+9-\sqrt{80}+3\sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})}\,x.\]

Так как

\[(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})=81-80=1,\]

получаем:

\[x^3=18+3x.\]

Значит,

\[x^3-3x-18=0.\]

Разложим на множители:

\[x^3-3x-18=(x-3)(x^2+3x+6).\]

У квадратного трёхчлена \(x^2+3x+6\) нет действительных корней, поэтому \(x=3\).

Следовательно,

\[\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3.\]

0 0 Пожаловаться