Найти значение выражения [tex]\sqrt[6]{x^{3} -3\sqrt{2}x^{2} +6x -2\sqrt{2}} * \sqrt{x+\sqrt{2}}[/tex] при x = \sqrt{83}.

Дано выражение:

\[\sqrt[6]{x^3 - 3\sqrt{2}x^2 + 6x - 2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{x + \sqrt{2}}\]

Заметим, что под первым корнем стоит куб разности:

\[(x - \sqrt{2})^3 = x^3 - 3\sqrt{2}x^2 + 6x - 2\sqrt{2}\]

Значит выражение равно:

\[\sqrt[6]{(x - \sqrt{2})^3} \cdot \sqrt{x + \sqrt{2}}\]

Так как \(x = \sqrt{83}\), то \(x > \sqrt{2}\), поэтому:

\[\sqrt[6]{(x - \sqrt{2})^3} = \sqrt{x - \sqrt{2}}\]

Получаем:

\[\sqrt{x - \sqrt{2}} \cdot \sqrt{x + \sqrt{2}} = \sqrt{(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}\]

Используем формулу разности квадратов:

\[\sqrt{x^2 - 2}\]

Подставляем \(x = \sqrt{83}\):

\[\sqrt{(\sqrt{83})^2 - 2} = \sqrt{83 - 2} = \sqrt{81} = 9\]

Ответ: \(9\).

0 0 Пожаловаться