Спростити вираз
((2+sqrt(3))/(sqrt(2)+sqrt(2+sqrt(3)))+(2-sqrt(3))/(sqrt(2)-sqrt(2-sqrt(3))))

Позначимо \(a=\sqrt{2+\sqrt3}\), \(b=\sqrt{2-\sqrt3}\). Тоді \(2+\sqrt3=a^2\), а \(2-\sqrt3=b^2\).

Використаємо формули:

\[\sqrt{2+\sqrt3}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}, \qquad \sqrt{2-\sqrt3}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2}\]

Тоді перший дріб дорівнює:

\[\frac{2+\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt{2+\sqrt3}}=\frac{3\sqrt2+\sqrt6}{6}\]

Другий дріб:

\[\frac{2-\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt{2-\sqrt3}}=\frac{3\sqrt2-\sqrt6}{6}\]

Додаємо:

\[\frac{3\sqrt2+\sqrt6}{6}+\frac{3\sqrt2-\sqrt6}{6}=\frac{6\sqrt2}{6}=\sqrt2\]

Відповідь: \(\sqrt2\).

0 0 Пожаловаться