Сколько существует различных символьных последовательностей длины 6 в четырёхбуквенном алфавите, которые содержат ровно две одинаковые буквы?

Для решения задачи нужно посчитать количество символьных последовательностей длины 6, составленных из четырёх букв, которые содержат ровно две одинаковые буквы.

Обозначим алфавит четырёхбуквенным набором, скажем, $\{A, B, C, D\}$. Задача сводится к тому, чтобы выбрать такие буквы и расположить их в строке, чтобы в итоге ровно две буквы повторялись.

1. Выбор буквы, которая будет встречаться дважды.
   Из четырёх букв можно выбрать одну для повторения. Количество таких выборов равно 4 (мы можем выбрать одну из A, B, C или D).

2. Выбор позиций для этой буквы.
   Нам нужно выбрать 2 позиции из 6, на которых будет располагаться выбранная буква. Количество способов выбрать 2 позиции из 6 равно $\binom{6}{2}$, что вычисляется как:

   $$\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$

3. Выбор оставшихся 4 позиций.
   На оставшиеся 4 позиции нужно разместить 4 различные буквы (не равные выбранной для повторения). Каждая из оставшихся позиций может быть занята одной из оставшихся 3 букв (поскольку одна буква уже выбрана для повторения). Количество способов распределить 4 буквы среди оставшихся позиций:

   $$3^4 = 81$$

   (каждая из 4 позиций может быть занята одной из 3 букв).

Таким образом, общее количество таких последовательностей будет равно произведению этих трех факторов:

Ответ: существует 4860 различных символьных последовательностей длины 6, в которых ровно две буквы одинаковые.