Определить количество трехзначных натуральных чисел, сумма цифр которых равна заданному числу N.

Решение сводится к подсчёту целых решений уравнения
$a+b+c=N$ при ограничениях $a\in\{1,\dots,9\}$, $b,c\in\{0,\dots,9\}$ (первая цифра не может быть нулём).

Удобно воспользоваться либо включениями–исключениями, либо «вычитанием ведущих нулей». Последний способ даёт аккуратную формулу:

обозначим через $F_3(N)$ число троек $(x,y,z)$ с цифрами $0\ldots9$, сумма которых равна $N$, а через $F_2(N)$ — число пар $(y,z)$ с цифрами $0\ldots9$ и суммой $N$. Тогда искомое

потому что $F_2(N)$ — это как раз случаи с «ведущим нулём» (a=0), которые нужно вычесть.

Из стандартных формул (или по «звёздочкам и палочкам» с отсечением по 9) получаем:

• Для суммы двух цифр:

• Для суммы трёх цифр:

Тогда окончательная, простая и удобная кусочная формула для количества трёхзначных чисел с суммой цифр $N$ (напоминаю: возможны только $1\le N\le 27$):

Где $\binom{k}{2}=\dfrac{k(k-1)}{2}$.

Проверка (несколько значений):
$S(1)=1$ (только 100), $S(9)=45$, $S(14)=70$ (максимум), $S(27)=1$ (только 999).