Напряжение на контактах принимает значения от 0 до 5 вольт. Сколько битов нужно использовать для дискретизации такого сигнала, чтобы ошибка составляла не более 3%? При дискретизации измеренное напряжение округляется до ближайшего меньшего значения, которое точно представляется двоичным кодом.

Чтобы ответить на вопрос, сколько битов нужно для дискретизации сигнала с напряжением от 0 до 5 вольт при ошибке не более 3%, разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Определение шага квантования

Ошибка в 3% означает, что погрешность измерения напряжения должна быть не больше 3% от диапазона напряжений. Диапазон составляет $5 - 0 = 5$ вольт, поэтому максимально допустимая ошибка составляет:

Это означает, что шаг квантования $\Delta$ (размер минимального изменения напряжения, которое может быть различимо) должен быть:

Шаг 2: Связь шага квантования и разрядности

Шаг квантования определяется количеством уровней дискретизации $N$. Если используется $n$ бит для представления напряжения, то количество уровней дискретизации $N$ равно:

Шаг квантования вычисляется как:

Чтобы шаг квантования был не больше 0.15 В, должно выполняться:

Шаг 3: Решение неравенства

Решим это неравенство:

Минимальное целое значение $2^n$, удовлетворяющее этому условию, равно 64 (так как $2^5 = 32$, а $2^6 = 64$).

Шаг 4: Определение разрядности

Так как $2^6 = 64$, минимальное количество бит, необходимое для дискретизации с требуемой точностью, равно:

Шаг 5: Проверка результата

Для $n = 6$ шаг квантования будет:

Это меньше 0.15 В, следовательно, ошибка составляет менее 3%. Для $n = 5$ шаг квантования будет $5/32 = 0.15625 \, \text{В}$, что больше 0.15 В и не удовлетворяет условию.

Ответ:

Для дискретизации сигнала в диапазоне от 0 до 5 вольт с погрешностью не более 3% необходимо использовать 6 битов.