Полина составляет 6-буквенные коды из букв П, О, Л, И, Н, А. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные. Сколько различных кодов может составить Полина?

Можно, пожалуйста, развёрнутое решение (с объяснением)

Благодарю!

Задача состоит в том, чтобы составить 6-буквенные коды, используя буквы П, О, Л, И, Н, А, при этом соблюдая несколько условий:

1. Каждую букву использовать ровно один раз.
2. Нельзя ставить подряд две гласные или две согласные.

Для начала давайте определим, какие буквы являются гласными, а какие — согласными.

Гласные: О, И, А.
Согласные: П, Л, Н.

Таким образом, у нас есть 3 гласные (О, И, А) и 3 согласные (П, Л, Н).

Теперь давайте разберемся, как составить код с учетом ограничения, что нельзя ставить подряд две гласные или две согласные. Это означает, что буквы должны чередоваться по типу: сначала гласная, потом согласная, затем снова гласная и так далее. То есть, код будет чередовать гласные и согласные, начиная с любой из этих категорий.

Алгоритм решения:

1. Определение структуры кода: Поскольку у нас 6 букв, то возможны два типа чередования:

   • Гласная — согласная — гласная — согласная — гласная — согласная (начинаем с гласной).
   • Согласная — гласная — согласная — гласная — согласная — гласная (начинаем с согласной).

2. Рассмотрим первый случай: когда начинаем с гласной.

   Структура кода будет такой:
   Гласная — Согласная — Гласная — Согласная — Гласная — Согласная.

   Для заполнения этой структуры:

   • Гласные: У нас есть 3 гласные (О, И, А), и их нужно распределить по 3 гласных местах. Это можно сделать 3! (факториал от 3) способами.
   • Согласные: У нас есть 3 согласные (П, Л, Н), и их нужно распределить по 3 согласных местах. Это также можно сделать 3! способами.

   Таким образом, общее количество кодов в этом случае будет:

   $$3! \times 3! = 6 \times 6 = 36.$$

3. Рассмотрим второй случай: когда начинаем с согласной.

   Структура кода будет такой:
   Согласная — Гласная — Согласная — Гласная — Согласная — Гласная.

   Аналогично, для заполнения этой структуры:

   • Согласные: У нас есть 3 согласные (П, Л, Н), и их нужно распределить по 3 согласных местах. Это можно сделать 3! способами.
   • Гласные: У нас есть 3 гласные (О, И, А), и их нужно распределить по 3 гласных местах. Это также можно сделать 3! способами.

   Общее количество кодов в этом случае также будет:

   $$3! \times 3! = 6 \times 6 = 36.$$

4. Общее количество кодов:

   Суммируем количество кодов для обоих случаев:

   $$36 + 36 = 72.$$

Таким образом, Полина может составить 72 различных кода, соблюдая все условия задачи.