По данному натуральному числу N найдите сумму чисел 1+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/N!. Количество действий должно быть пропорционально N.

Входные данные
Задано единственное число N

Выходные данные
Необходимо вывести результат вычисления в виде действительного числа c точностью до 5 знаков после запятой.

Примеры
входные данные
1
выходные данные
2
c++

Для того чтобы решить задачу, нужно вычислить сумму последовательности вида:

где $N$ — это заданное натуральное число. При этом факториал $k!$ для каждого числа $k$ рассчитывается как произведение всех целых чисел от 1 до $k$.

Подход к решению:

1. Факториал. Чтобы вычислить факториал числа $k$, нужно последовательно перемножать все числа от 1 до $k$. Например:

   • $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
   • $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

2. Сумма. Нам нужно вычислить сумму:

3. Пропорциональность действиям $N$. Чтобы количество действий было пропорционально $N$, можно избегать повторных вычислений факториалов. Например, можно считать факториал для каждого числа, начиная с $1!$, используя предыдущее значение. То есть для каждого $k$ из суммы факториал $k!$ можно вычислить как $k! = k \times (k-1)!$.

Алгоритм:

1. Начать с суммы $S = 1$ (первый член суммы).
2. Итерировать от 1 до $N$ и на каждом шаге добавлять $\frac{1}{k!}$ в сумму.
3. Выводить результат с точностью до 5 знаков после запятой.

Реализация на C++:

cpp
#include 
#include  // Для управления точностью вывода
using namespace std;
int main() {
    int N;
    cin >> N;  // Вводим число N
    
    double sum = 1.0;  // Начальная сумма, первая часть 1
    
    double factorial = 1.0;  // Начальный факториал для 1! = 1
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        factorial *= i;  // Вычисляем текущий факториал
        sum += 1.0 / factorial;  // Добавляем 1/k! к сумме
    }
    
    cout << fixed << setprecision(5) << sum << endl;  // Выводим результат с точностью до 5 знаков
    return 0;
}

Объяснение кода:

1. Ввод числа N. Читаем натуральное число $N$, до которого будем вычислять сумму.
2. Переменная sum. Начинаем с суммы, равной 1 (первый элемент последовательности).
3. Переменная factorial. Инициализируем её значением 1, так как $1! = 1$. В цикле на каждом шаге вычисляем новый факториал, умножая его на $i$, где $i$ — текущий индекс в цикле.
4. Цикл. В цикле от 1 до $N$ добавляем к сумме дробь $1 / factorial$, где $factorial$ — это текущее значение факториала для числа $i$.
5. Вывод. Используем функцию cout с манипулятором setprecision(5) для вывода числа с точностью до 5 знаков после запятой.

Пример 1:

Вход:

1

Шаги выполнения:

1. Начальная сумма = 1.
2. $1! = 1$, добавляем $\frac{1}{1!} = 1$ к сумме.
3. Итоговая сумма = 1 + 1 = 2.

Выход:

2.00000

Пример 2:

Вход:

3

Шаги выполнения:

1. Начальная сумма = 1.
2. $1! = 1$, добавляем $\frac{1}{1!} = 1$.
3. $2! = 2$, добавляем $\frac{1}{2!} = 0.5$.
4. $3! = 6$, добавляем $\frac{1}{3!} = 0.16667$.
5. Итоговая сумма = 1 + 1 + 0.5 + 0.16667 = 2.66667.

Выход:

2.66667

Важные замечания:

• Если $N = 1$, то результат будет просто $2$, как в первом примере.
• Точность вывода устанавливается с помощью setprecision(5), что позволяет выводить результат