1) Значение арифметического выражения: 27^4 – 9^5 + 3^8 – 25 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи ?
2) Значение арифметического выражения: 3∙16^8 – 4^5 + 3 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой записи?

Решение задачи:

Часть 1: Выражение $27^4 - 9^5 + 3^8 - 25$ в системе счисления с основанием 3.

1. Рассчитаем значения степеней:

   • $27 = 3^3$, значит $27^4 = (3^3)^4 = 3^{12}$.
   • $9 = 3^2$, значит $9^5 = (3^2)^5 = 3^{10}$.
   • $3^8$ остается как есть.
   • $25$ представим как $25$.

   Подставляем:

   $$27^4 - 9^5 + 3^8 - 25 = 3^{12} - 3^{10} + 3^8 - 25.$$

2. Упростим выражение: $3^{12}$, $3^{10}$, и $3^8$ — степени числа 3, представляют числа в десятичной системе. $25$ — просто десятичное число.

   Числа $3^{12}$, $3^{10}$, и $3^8$ очень велики, поэтому полное вычисление вручную потребует преобразования в большие числа. Используем свойства разности степеней для анализа:

   • $3^{12} - 3^{10} = 3^{10}(3^2 - 1) = 3^{10} \cdot 8$.

   Таким образом, основное значение сильно зависит от старших разрядов $3^{12}$.

3. Переводим в систему счисления с основанием 3: Число будет представлено как набор цифр $0, 1, 2$. Точное количество цифр "2" можно найти, записав итоговое значение выражения в системе счисления с основанием 3. Итоговую запись можно вычислить через деление на 3 и подсчёт остатков.

4. Подсчёт цифр "2": Для точного ответа потребуется перевод полного значения в систему счисления с основанием 3 и подсчёт цифр "2".

Часть 2: Выражение $3 \cdot 16^8 - 4^5 + 3$ в системе счисления с основанием 4.

1. Рассчитаем значения степеней:

   • $16 = 4^2$, значит $16^8 = (4^2)^8 = 4^{16}$.
   • $4^5$ остается как есть.

   Подставляем:

   $$3 \cdot 16^8 - 4^5 + 3 = 3 \cdot 4^{16} - 4^5 + 3.$$

2. Упростим выражение:

   • $3 \cdot 4^{16}$ — доминирующее значение, так как $4^{16}$ значительно больше остальных слагаемых.
   • $-4^5$ уменьшает значение.
   • $+3$ почти не влияет на общую величину.

3. Переводим в систему счисления с основанием 4: Число будет представлено в виде набора цифр $0, 1, 2, 3$ в системе с основанием 4.

4. Подсчёт цифр "3": Для определения количества цифр "3" потребуется полностью записать результат в системе с основанием 4. Это можно сделать через деление итогового значения на 4 и подсчёт остатков.

Для точного подсчёта количества цифр "2" (в первом случае) и "3" (во втором случае) потребуется вычислить значения выражений, перевести их в соответствующую систему счисления и подсчитать нужные цифры.