Значение арифметического выражения: 32^60 + 4^180 – 128 записали в системе счисления с основанием 8. Сколько цифр «7» в этой записи?

Задача состоит из нескольких этапов: нужно сначала вычислить значение арифметического выражения $32^{60} + 4^{180} - 128$, затем представить его в системе счисления с основанием 8 и подсчитать количество цифр «7» в этой записи.

Этап 1: Преобразуем выражение

• $32^{60}$ можно выразить как $(2^5)^{60} = 2^{300}$.
• $4^{180}$ можно записать как $(2^2)^{180} = 2^{360}$.
• $128$ — это $2^7$.

Таким образом, выражение преобразуется в:

Этап 2: Вычислим значение суммы

Посмотрим на сумму $2^{300} + 2^{360} - 2^7$. Важно заметить, что $2^{360}$ значительно больше, чем $2^{300}$ или $2^7$, так что они не дадут значительного вклада в старшие разряды числа. Для упрощения можно представить это как:

Так как $2^{-60}$ и $2^{-353}$ — это очень маленькие числа, результат в целом будет приближённо равен $2^{360}$, что довольно близко к числу, начинающемуся с единицы и продолжающемуся множеством нулей в двоичной системе.

Этап 3: Перевод в систему счисления с основанием 8

Теперь нам нужно перевести это число в систему счисления с основанием 8. Чтобы это сделать, вспомним, что основание 8 — это степень двойки, а именно $8 = 2^3$. Поэтому каждый разряд в восьмеричной системе соответствует трём разрядам в двоичной.

Поскольку $2^{360}$ — это число, состоящее из единицы, за которой идут 360 нулей в двоичной системе, его запись в восьмеричной системе будет выглядеть как единица, за которой следуют $\frac{360}{3} = 120$ нулей. То есть, $2^{360}$ в восьмеричной системе — это:

Затем, добавив маленькие корректировки от слагаемых $2^{300}$ и $-2^7$, мы получим число, которое будет начинаться с единицы и иметь значимые цифры в меньших разрядах.

Этап 4: Подсчёт цифр «7»

При переводе числа в восьмеричную систему счисления, наиболее значимые цифры будут представлять собой «1», «2» или «3», а в конце могут встретиться цифры «7», если результат близок к числу с высокими значениями в последних разрядах. Однако точная форма числа будет зависеть от величины корректирующих слагаемых, но на практике, учитывая, что выражение имеет вид:

это число будет заканчивается на цифры «7» несколько раз в конце своей записи в восьмеричной системе счисления, причём количество таких цифр будет равно 120.

Ответ

Число, представленное в системе счисления с основанием 8, будет содержать 120 цифр «7».