В корзине лежат 9! Шаров разного цвета. Сколько информации несёт сообщение о том, что из корзины достали красный шар?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сначала понять, как измеряется количество информации в контексте теории информации, а именно, как связано количество возможных исходов и количество информации, которое несет один из этих исходов.

1. Общее количество шаров:

   У нас есть 9! шаров. Это факториал числа 9, что означает:

   $$9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880.$$

   То есть в корзине всего 362880 шаров, каждый из которых уникален по цвету.

2. Количество возможных исходов:

   Если мы извлекаем один шар из корзины, то у нас есть 362880 возможных исходов, так как каждый шар уникален.

3. Количество информации:

   Количество информации, которое несет событие, можно измерить через так называемую энтропию или информационное содержание. Формула для вычисления информации в битах при событии с $N$ равновероятными исходами следующая:

   $$I = \log_2(N),$$

   где $I$ — это количество информации в битах, а $N$ — количество возможных исходов.

   В нашем случае $N = 362880$. Тогда информация, которую несет событие о том, что был извлечён конкретный шар, равна:

   $$I = \log_2(362880).$$

   Для вычисления этого значения можно воспользоваться логарифмическими свойствами:

   $$\log_2(362880) = \frac{\log_{10}(362880)}{\log_{10}(2)}.$$

   Сначала находим $\log_{10}(362880)$, это примерно 5.559. Логарифм 2 в десятичной системе — это примерно 0.3010. Тогда:

   $$I \approx \frac{5.559}{0.3010} \approx 18.5 \, \text{бита}.$$

   То есть, сообщение о том, что был извлечён конкретный шар (например, красный), несёт примерно 18.5 бита информации.

4. Что это значит:

   Количество информации в 18.5 бит говорит о том, что извлечение конкретного шара из 362880 возможных представляет собой довольно сложный исход, и сообщение о нем требует достаточно большой «емкости» для передачи.

В итоге, ответ на вопрос: сообщение о том, что из корзины достали красный шар, несет около 18.5 бита информации.