В тетраэдре DABC точка P принадлежит AB, CE — медиана грани DCB. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки D и P параллельно CE.

Дано: тетраэдр $DABC$, точка $P$ лежит на ребре $AB$. В грани $DCB$ проведена медиана $CE$, значит точка $E$ — середина ребра $DB$. Нужно построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $D$ и $P$ и параллельной прямой $CE$.

Искомая плоскость уже содержит прямую $DP$, потому что проходит через точки $D$ и $P$. Кроме того, она должна быть параллельна прямой $CE$. Поэтому нужно провести через какую-нибудь точку плоскости прямую, параллельную $CE$. Удобнее всего сделать это через точку $D$.

Построение:

1. В грани $DCB$ найдём середину ребра $DB$. Обозначим её через $E$.

2. Проведём медиану $CE$ грани $DCB$.

3. Через точку $D$ проведём прямую $l$, параллельную $CE$.

   Так как $CE$ лежит в плоскости грани $DCB$, то и прямая $l$, проходящая через точку $D$ параллельно $CE$, тоже лежит в плоскости $DCB$.

4. Прямая $l$ пересечёт ребро $CB$ в некоторой точке. Обозначим эту точку через $Q$.

   Почему пересечение именно с $CB$? В треугольнике $DCB$ прямая через $D$, параллельная медиане $CE$, проходит внутри плоскости этой грани и выходит на сторону $CB$. Точка $Q$ принадлежит ребру $CB$.

5. Соединим точки $D$ и $P$. Получим отрезок $DP$.

6. Соединим точки $P$ и $Q$. Получим отрезок $PQ$.

7. Соединим точки $Q$ и $D$. Этот отрезок лежит на построенной прямой $l$.

Полученный треугольник $DPQ$ и есть искомое сечение тетраэдра.

Почему это верно:

Плоскость сечения должна проходить через точки $D$ и $P$, значит она содержит прямую $DP$. Также она должна быть параллельна $CE$. Через точку $D$ мы построили прямую $DQ$, параллельную $CE$. Следовательно, плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые $DP$ и $DQ$, удовлетворяет условию задачи.

Эта плоскость пересекает тетраэдр по треугольнику $DPQ$, где:

Значит, искомое сечение — треугольник $DPQ$, где $Q$ — точка пересечения ребра $CB$ с прямой, проведённой через $D$ параллельно медиане $CE$.