Каждое ребро тетраэдра DABC равно 2 см. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В, С и середину ребра AD. Вычислите периметр сечения.

Чтобы решить задачу о сечении тетраэдра плоскостью, проходящей через точки B, C и середину ребра AD, начнем с построения тетраэдра DABC и определения необходимых точек.

1. Построение тетраэдра:

   • Точки D, A, B и C образуют тетраэдр, где каждое ребро имеет длину 2 см.
   • Установим координаты точек:
     • D (0, 0, 0)
     • A (2, 0, 0)
     • B (1, √3, 0) (это точка, которая находится на одной из граней и образует равносторонний треугольник с A и C)
     • C (1, √3/3, √6/3) (это точка, которая также образует равносторонний треугольник с A и B)

2. Определение середины ребра AD:

   • Ребро AD соединяет точки D и A. Середина этого ребра будет находиться по формуле:
     • M(AD) = ((x_D + x_A)/2, (y_D + y_A)/2, (z_D + z_A)/2) = ((0 + 2)/2, (0 + 0)/2, (0 + 0)/2) = (1, 0, 0).

3. Сечение тетраэдра плоскостью:

   • Теперь мы имеем три точки, через которые проходит плоскость: B (1, √3, 0), C (1, √3/3, √6/3) и M(AD) (1, 0, 0).
   • Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через эти три точки, можно использовать векторное произведение.

4. Вычисление периметра сечения:

   • Сечение будет треугольником, где вершинами будут точки B, C и M(AD).
   • Сначала найдем длины сторон треугольника:
     • Длина стороны BC:
       • $BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2}$
       • Подставляем координаты: $BC = \sqrt{(1 - 1)^2 + (\frac{√3}{3} - √3)^2 + (\frac{√6}{3} - 0)^2} = \sqrt{(0)^2 + (-\frac{2√3}{3})^2 + (\frac{√6}{3})^2}$ $BC = \sqrt{\frac{4}{3} + \frac{6}{9}} = \sqrt{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}} = \sqrt{2}$ см.
     • Длина стороны BM:
       • $BM = \sqrt{(x_M - x_B)^2 + (y_M - y_B)^2 + (z_M - z_B)^2}$
       • Подставляем координаты: $BM = \sqrt{(1 - 1)^2 + (0 - √3)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(0)^2 + (−√3)^2 + (0)^2} = √3$ см.
     • Длина стороны CM:
       • $CM = \sqrt{(x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2 + (z_M - z_C)^2}$
       • Подставляем координаты: $CM = \sqrt{(1 - 1)^2 + (0 - \frac{√3}{3})^2 + (0 - \frac{√6}{3})^2} = \sqrt{(0)^2 + (−\frac{√3}{3})^2 + (−\frac{√6}{3})^2}$