На ребре BC тетраэдра DABC обозначили точку E так, что BE : EC = 2 : 1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которая проходит через точку E параллельно прямым AB и CD. Найдите периметр сечения, если AB = 18 см, CD = 12 см.

Для решения этой задачи, нам нужно сначала понять, как будет выглядеть сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку E параллельно прямым AB и CD. Для этого следует учесть, что сечение, проходящее параллельно двум не пересекающимся прямым, лежащим на разных гранях тетраэдра, будет представлять собой четырехугольник.

1. Определение точек сечения:

   • Точка E уже дана на ребре BC.
   • Точка F на ребре AD, такая что DF:FA = 2:1 (аналогично соотношению в точке E).
   • Точка G на ребре AC, такая что AG:GC = BE:EC = 2:1.
   • Точка H на ребре DB, такая что DH:HB = DF:FA = 2:1.

2. Нахождение длин отрезков сечения:

   • Длина EG: Это отрезок на ребре AC. Так как AC = AB (в тетраэдре DABC) и AB = 18 см, то AC = 18 см. Поскольку AG:GC = 2:1, EG = 2/3 * AC = 2/3 * 18 = 12 см.
   • Длина EH: Это отрезок на ребре DB. Поскольку DB = CD (в тетраэдре DABC) и CD = 12 см, то DB = 12 см. Поскольку DH:HB = 2:1, EH = 2/3 * DB = 2/3 * 12 = 8 см.
   • Длина EF и FG: Эти отрезки будут равны соответствующим рёбрам тетраэдра AD и DC, так как сечение проводится параллельно этим рёбрам. Значит, EF = AD = 18 см и FG = DC = 12 см.

3. Расчет периметра сечения: Периметр четырехугольника EFGH равен сумме длин его сторон, то есть EG + GF + FH + HE = 12 см + 12 см + 8 см + 18 см = 50 см.

Таким образом, периметр сечения тетраэдра данной плоскостью составляет 50 см.