3. Гранями выпуклого многогранника являются треугольники. Сколько он имеет граней, если у него 12 рёбер? А) 6; В) 8; С) 9; D) 12.
4. У выпуклого многогранника 10 вершин и 15 рёбер. Сколько у него граней? А) 5; В) 7; С) 9; D) 12.
5. У выпуклого многогранника 6 вершин и 5 граней. Сколько у него рёбер? А) 5; В) 7; С) 9; D) 12.
6. У выпуклого многогранника 12 рёбер и 8 граней. Сколько у него вершин? А) 6; В) 7; С) 8; D) 9.
7. Сколько граней имеет икосаэдр? А) 8; В) 12; С) 16; D) 20.
8. Сколько вершин имеет додекаэдр? А) 8; В) 12; С) 16; D) 20.

Для решения задач воспользуемся формулой Эйлера для выпуклых многогранников:

где:

• $В$ — количество вершин;

• $Р$ — количество рёбер;

• $Г$ — количество граней.

3. Гранями выпуклого многогранника являются треугольники. Сколько он имеет граней, если у него 12 рёбер?

Так как каждая грань является треугольником, а каждое ребро принадлежит двум граням, получаем:

Подставим количество рёбер:

Ответ: В) 8.

4. У выпуклого многогранника 10 вершин и 15 рёбер. Сколько у него граней?

Используем формулу Эйлера:

Подставим известные значения:

Ответ: В) 7.

5. У выпуклого многогранника 6 вершин и 5 граней. Сколько у него рёбер?

По формуле Эйлера:

Подставим значения:

Ответ: С) 9.

6. У выпуклого многогранника 12 рёбер и 8 граней. Сколько у него вершин?

Используем формулу Эйлера:

Подставим известные значения:

Ответ: А) 6.

7. Сколько граней имеет икосаэдр?

Икосаэдр — это правильный многогранник, который имеет:

• 20 треугольных граней;

• 30 рёбер;

• 12 вершин.

Следовательно, икосаэдр имеет 20 граней.

Ответ: D) 20.

8. Сколько вершин имеет додекаэдр?

Додекаэдр — это правильный многогранник, который имеет:

• 12 пятиугольных граней;

• 30 рёбер;

• 20 вершин.

Следовательно, додекаэдр имеет 20 вершин.

Ответ: D) 20.

Итоговые ответы

Главное: для решения первых четырёх задач используется формула Эйлера $В-Р+Г=2$. Для последних двух необходимо знать основные свойства правильных многогранников — икосаэдра и додекаэдра.