Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника равны \(d_1\) и \(d_2\), а угол между ними равен \(\varphi\). Обозначим точку пересечения диагоналей буквой \(O\).

Диагонали делят четырёхугольник на четыре треугольника. Площадь каждого из них находится по формуле:

\[S=\frac{1}{2}ab\sin\varphi.\]

Складывая площади четырёх треугольников, получаем:

\[S=\frac{1}{2}\sin\varphi\,(AO\cdot BO+BO\cdot CO+CO\cdot DO+DO\cdot AO).\]

Вынесем общий множитель:

\[S=\frac{1}{2}\sin\varphi\,(AO+CO)(BO+DO).\]

Но \(AO+CO=d_1\), а \(BO+DO=d_2\). Значит,

\[\boxed{S=\frac{1}{2}d_1d_2\sin\varphi}.\]

Следовательно, площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

0 0 Пожаловаться