2sin²x + 3cosx = 0 решить уравнение 10 класс

Для того чтобы решить уравнение $2\sin^2(x) + 3\cos(x) = 0$, выполните следующие шаги:

1. Используем тождество:

   Напоминаю, что существует тригонометрическое тождество:

   $$\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$$

   Подставим это в исходное уравнение:

   $$2(1 - \cos^2(x)) + 3\cos(x) = 0$$

2. Упростим выражение:

   Раскроем скобки:

   $$2 - 2\cos^2(x) + 3\cos(x) = 0$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$-2\cos^2(x) + 3\cos(x) + 2 = 0$$

   Умножим на -1, чтобы избавиться от минусов:

   $$2\cos^2(x) - 3\cos(x) - 2 = 0$$

3. Решаем квадратное уравнение:

   Получили квадратное уравнение относительно $\cos(x)$:

   $$2\cos^2(x) - 3\cos(x) - 2 = 0$$

   Это уравнение можно решить через дискриминант. Для уравнения вида $a\cos^2(x) + b\cos(x) + c = 0$, дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   Здесь $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$:

   $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

   Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

   $$\cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$\cos(x) = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$$

   Получаем два значения для $\cos(x)$:

   $$\cos(x) = \frac{3 + 5}{4} = 2 \quad \text{или} \quad \cos(x) = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$$

4. Рассматриваем возможные решения:

   Первое значение $\cos(x) = 2$ не подходит, потому что $\cos(x)$ может принимать значения только в пределах от -1 до 1. Следовательно, это решение исключаем.

   Оставшееся решение:

   $$\cos(x) = -\frac{1}{2}$$

5. Находим $x$:

   $\cos(x) = -\frac{1}{2}$ для углов $x$ можно найти из стандартных значений. Из таблицы значений косинуса знаем, что:

   $$\cos(x) = -\frac{1}{2} \quad \text{при} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

   Таким образом, общее решение уравнения:

   $$x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$