Решите дробные рациональные уравнения: 1) x+8/x-10=x-2/x+4 2)150/x=25-x 3)x^2-10/x-2=3x/2-x 4)5x^2-34x+24/x-8=5x-2 5)(2x-21)(5x+8)/10x^2+21x+8=0 6)18/x^2-9+5/x+3=x/x-3 7)2/x^2-4+1/2x-4+7/2x^2+4x=0

Решим каждое дробное рациональное уравнение по очереди. Основная стратегия — привести уравнение к общему знаменателю, найти ОДЗ (область допустимых значений), решить числитель и проверить корни на соответствие ОДЗ.

1) (x + 8)/(x - 10) = (x - 2)/(x + 4)

ОДЗ: $x \ne 10$, $x \ne -4$

Решаем методом крест-накрест:

Раскроем скобки:

Вычтем $x^2$ с обеих сторон:

Проверка: $x = -0.5 \notin \{10, -4\}$, значит решение:
Ответ: $x = -\frac{1}{2}$

2) 150/x = 25 - x

ОДЗ: $x \ne 0$

Приведём к одному уравнению:

Решим квадратное уравнение:

Обе точки в ОДЗ.

Ответ: $x = 10$, $x = 15$

3) (x^2 - 10)/(x - 2) = (3x)/(2 - x)

ОДЗ: $x \ne 2$, $x \ne -2$ (обратим внимание позже на направление знаков)

Преобразуем знаменатель справа:

Итак, получаем:

Числитель: $x^2 + 3x - 10 = 0$

Дискриминант:

Но $x = 2 \notin \text{ОДЗ}$, значит остаётся:

Ответ: $x = -5$

4) (5x² - 34x + 24)/(x - 8) = 5x - 2

ОДЗ: $x \ne 8$

Умножим обе части на $x - 8$:

Раскроем правую часть:

Приравниваем: