Волк и Заяц играют в следующую игру: на доске написано число; ход состоит в том, чтобы вычесть из этого числа какую-либо его ненулевую цифру и записать получившееся число на месте старого. Ходят по очереди. Выигрывает тот, кто первым получает ноль. На доске исходно написано число 1234, первым ходит Волк. Кто выиграет при правильной игре?

Рассмотрим, какие числа являются выигрышными, а какие проигрышными.

Заметим важное свойство: любое число, кратное 10, является проигрышным для того, кто ходит.

Почему? Если на доске стоит число, оканчивающееся на 0, то любой ход состоит в вычитании одной из его ненулевых цифр. Эта цифра находится в пределах от 1 до 9, поэтому после вычитания число уже не будет оканчиваться на 0. Значит, из кратного 10 числа нельзя одним ходом попасть снова в кратное 10 число.

А вот любое число, не кратное 10, является выигрышным: у него последняя цифра ненулевая, и можно вычесть именно её. Тогда получится число, оканчивающееся на 0, то есть кратное 10.

Теперь применим это к числу 1234.

У него последняя цифра равна 4, поэтому Волк делает ход:

Число 1230 кратно 10, значит, оно проигрышное для Зайца.

Что бы ни сделал Заяц, он должен вычесть одну из цифр 1, 2 или 3:

• $1230-1=1229$,

• $1230-2=1228$,

• $1230-3=1227$.

Во всех случаях число перестаёт быть кратным 10. Тогда Волк снова вычитает последнюю цифру и возвращает число, кратное 10:

• $1229-9=1220$,

• $1228-8=1220$,

• $1227-7=1220$.

Так Волк после каждого своего хода оставляет Зайцу число, кратное 10. Игра продолжается, пока не получится число 10: тогда Заяц вынужден сделать ход $10-1=9$, а Волк отвечает $9-9=0$.

Значит, при правильной игре первым получает ноль Волк.

Победитель — Волк.