Под знаком корня записано число с 40 девятками после запятой √0,99...9. Вычислите корень с 40 знаками после запятой.

Для того чтобы вычислить $\sqrt{0,99...9}$, где после запятой следует 40 девяток, сначала нужно немного упростить задачу.

Шаг 1: Представление числа

Число $0,99...9$ с 40 девятками можно записать как:

Это связано с тем, что $0,99...9$ с большим количеством девяток близко к 1, но немного меньше. Таким образом, наше число $x$ — это $1$, уменьшенное на очень малую величину $10^{-40}$.

Шаг 2: Приближенное значение корня

Теперь нам нужно найти $\sqrt{x} = \sqrt{1 - 10^{-40}}$.

Для этого можно воспользоваться разложением корня для чисел, близких к 1. Применим формулу для приближённого вычисления корня для малых отклонений от 1:

где $\epsilon = 10^{-40}$.

Подставляем наше значение $\epsilon$:

Шаг 3: Окончательный ответ

Таким образом, $\sqrt{0,99...9}$, где 40 девяток после запятой, приблизительно равно:

где число девяток равно 39, а затем идёт цифра 5.

Итак, приближенное значение корня из числа с 40 девятками после запятой — это $0,999...95$, что на практике очень близко к единице, но немного меньше.