2/x²-4 —1/x²-2x+x-4/x²+2x=0

Для того чтобы решить уравнение $\frac{2}{x^2 - 4} - \frac{1}{x^2 - 2x + x - 4} = \frac{1}{x^2 + 2x}$, начнём с упрощения каждого из выражений.

1. Приведем выражения в более удобный вид.

   • $x^2 - 4$ — это разность квадратов, которую можно разложить как $(x - 2)(x + 2)$.

   • $x^2 - 2x + x - 4$ можно упростить. Объединим подобные слагаемые:

     $$x^2 - 2x + x - 4 = x^2 - x - 4.$$

     Это не так просто разложить, поэтому оставим в этом виде.

   • $x^2 + 2x$ можно выделить как $x(x + 2)$.

2. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

   $$\frac{2}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{1}{x^2 - x - 4} = \frac{1}{x(x + 2)}.$$

3. Теперь попробуем найти общий знаменатель для левой части уравнения. Это будет произведение всех уникальных множителей: $(x - 2)(x + 2)(x^2 - x - 4)$. Приведем к общему знаменателю:

   $$\frac{2(x^2 - x - 4)}{(x - 2)(x + 2)(x^2 - x - 4)} - \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)(x^2 - x - 4)} = \frac{x^2 - x - 4}{x(x + 2)(x^2 - x - 4)}.$$

4. Приведём обе части уравнения к одинаковому виду:

   $$\frac{2(x^2 - x - 4) - (x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)(x^2 - x - 4)} = \frac{x^2 - x - 4}{x(x + 2)(x^2 - x - 4)}.$$

5. Преобразуем числители:

   $$2(x^2 - x - 4) - (x - 2)(x + 2) = 2(x^2 - x - 4) - (x^2 - 4).$$

   Упростим:

   $$2(x^2 - x - 4) - (x^2 - 4) = 2x^2 - 2x - 8 - x^2 + 4 = x^2 - 2x - 4.$$

   Таким образом, получаем:

   $$\frac{x^2 - 2x - 4}{(x - 2)(x + 2)(x^2 - x - 4)} = \frac{x^2 - x - 4}{x(x + 2)(x^2 - x - 4)}.$$

6. Теперь сократим общие множители. Видно, что на обеих частях уравнения есть одинаковые множители $(x + 2)(x^2 - x - 4)$