Дана правильная треугольная призма. Периметр основания призмы равен 18 см, диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы

Для решения задачи по нахождению площади боковой поверхности правильной треугольной призмы, рассмотрим все известные параметры и поэтапно найдем недостающие величины.

Шаг 1: Анализ известной информации

1. Правильная треугольная призма означает, что её основание — это правильный треугольник (все стороны и углы равны).
2. Периметр основания равен 18 см. Так как основание — правильный треугольник, то длины всех его сторон равны. Обозначим длину стороны основания треугольника за $a$. $$3a = 18 \implies a = 6 \, \text{см}.$$ Таким образом, длина стороны основания треугольника равна 6 см.
3. Диагональ боковой грани равна 10 см. Боковая грань призмы — это прямоугольник, одна из сторон которого — это высота призмы ($h$), а другая — сторона основания ($a$). Диагональ боковой грани соединяет вершину основания треугольника с противоположной вершиной верхней грани.

Шаг 2: Нахождение высоты призмы

Диагональ боковой грани (10 см) и стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это диагональ, а катеты — сторона основания ($a = 6$ см) и высота призмы ($h$):

где $d = 10$ см — длина диагонали боковой грани.

Шаг 3: Нахождение площади боковой поверхности призмы

Боковая поверхность призмы состоит из трёх прямоугольников, каждая из сторон которых равна $a$ (стороне треугольного основания), а другая — высоте призмы ($h$). Площадь каждого из этих прямоугольников равна $a \cdot h$, а так как таких граней три, то:

Ответ:

Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна $144 \, \text{см}^2$.