"замените буквы А,В,С,D цифрами так, чтобы получилось верное равенство: АААА+ВВВ+СС+D= 2014"

Рассмотрим задачу. Нужно найти значения переменных $A$, $B$, $C$ и $D$, чтобы выражение $AAAA + BBB + CC + D = 2014$ стало верным равенством. Здесь каждое из выражений типа $AAAA$ или $BBB$ должно быть четырехзначным числом, состоящим из повторяющихся цифр.

1. Разберемся с выражением

Если $AAAA$ – это число, составленное из одинаковых цифр $A$, то его можно записать как $AAAA = 1000 \times A + 100 \times A + 10 \times A + A = 1111 \times A$. То же самое применимо к $BBB$, так как это число вида $BBB = 111 \times B$. $CC$ и $D$ обозначают двухзначное и однозначное числа соответственно.

2. Упростим выражение

Таким образом, уравнение можно переписать так:

Теперь мы можем попробовать подобрать значения для $A$, $B$, $C$, и $D$, чтобы уравнение было верным.

3. Подбор значений

Начнем с возможных значений $A$, так как $1111 \times A$ должно быть четырехзначным числом, близким к 2014.

• Если $A = 1$, то $1111 \times 1 = 1111$.
• Если $A = 2$, то $1111 \times 2 = 2222$, что уже больше 2014.

Значит, $A = 1$ — единственный подходящий вариант.

Подставим $A = 1$ и упростим уравнение:

Теперь решим для оставшихся переменных:

4. Подбор значения для $B$

Теперь найдем подходящее значение для $B$, чтобы $111 \times B$ было максимально близко к 903.

• Если $B = 8$, то $111 \times 8 = 888$.
• Если $B = 9$, то $111 \times 9 = 999$, что уже больше 903.

Значит, $B = 8$.

Подставим $B = 8$:

Теперь решим для $C$ и $D$:

5. Подбор значений для $C$ и $D$

Теперь нужно подобрать такие значения для $C$ и $D$, чтобы $11 \times C + D = 15$.

• Если $C = 1$, то $11 \times 1 = 11$, и тогда $D = 15 - 11 = 4$.

Это подходит, так как $C = 1$ и $D = 4$ дают верное равенство.

6. Ответ

Таким образом, решения для переменных следующие:

Проверим, подставив значения в исходное выражение:

Все верно. Таким образом, ответ:

$A = 1$, $B = 8$, $C = 1$, $D = 4$.