Решить уравнение \( x^3 + 5x^2 = 4x + 20 \).

Для того чтобы решить уравнение $x^3 + 5x^2 = 4x + 20$, начнём с того, что перенесём все члены на одну сторону уравнения. Это даст:

Теперь попробуем найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Согласно теореме, возможные рациональные корни — это делители свободного члена (-20) делённые на делители ведущего коэффициента (1). В данном случае возможные рациональные корни — это делители числа -20:

Попробуем подставить эти значения поочередно в уравнение и проверить, какой из них является корнем.

1. Подставим $x = 2$:

Мы нашли корень $x = 2$. Это означает, что $x = 2$ — корень уравнения.

Теперь можем разделить исходное кубическое уравнение $x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = 0$ на $x - 2$ с помощью деления многочленов. Проведём деление:

Используем деление в столбик:

1. $x^3 \div x = x^2$

2. Умножаем $x^2$ на $(x - 2)$, получаем $x^3 - 2x^2$.

3. Вычитаем: $(x^3 + 5x^2) - (x^3 - 2x^2) = 7x^2$.

4. $7x^2 \div x = 7x$.

5. Умножаем $7x$ на $(x - 2)$, получаем $7x^2 - 14x$.

6. Вычитаем: $(7x^2 - 4x) - (7x^2 - 14x) = 10x$.

7. $10x \div x = 10$.

8. Умножаем $10$ на $(x - 2)$, получаем $10x - 20$.

9. Вычитаем: $(10x - 20) - (10x - 20) = 0$.

Результат деления: $x^2 + 7x + 10$. Таким образом, исходное уравнение можно представить как:

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + 7x + 10 = 0$ с помощью дискриминанта.

Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

В нашем случае $a = 1$, $b = 7$, $c = 10$, поэтому:

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня. Находим их с помощью формулы:

Подставляем значения:

Получаем два корня: