Для каждого значения a решите уравнение (a-2)(a+2)x = a-2.

Рассмотрим уравнение:

Наша цель — решить это уравнение для всех значений параметра $a$. Начнем с анализа.

1. Рассмотрим случаи, при которых уравнение может вести себя по-разному

Особое внимание стоит обратить на знаменатели (если они будут) и на множители, которые могут стать нулем. В уравнении есть множитель $a - 2$. Возможны разные случаи:

Случай 1: $a - 2 \ne 0$, то есть $a \ne 2$

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $a - 2$ (так как это не ноль), получим:

Теперь выразим $x$:

Ограничение: знаменатель $a + 2 \ne 0$, т.е. $a \ne -2$

Значит, при $a \ne 2$ и $a \ne -2$, решение уравнения:

Случай 2: $a = 2$

Подставим в исходное уравнение:

Это тождество, которое всегда верно, независимо от $x$. Значит, при $a = 2$, уравнение выполняется при любом $x$.

Ответ: при $a = 2$, любое число — решение уравнения.

Случай 3: $a = -2$

Подставим в уравнение:

Это ложное равенство, значит, уравнение не имеет решений.

Итог:

• Если $a \ne 2$ и $a \ne -2$:

  $$x = \frac{1}{a + 2}$$

• Если $a = 2$:

  $$x \in \mathbb{R} \quad \text{(любое действительное число)}$$

• Если $a = -2$:

  $$\text{Нет решений}$$