Сто школьников одновременно изучали английский и немецкий языки. По окончании курсов они сдавали экзамен, который показал, что 10 школьников не освоили ни тот, ни другой язык. Из оставшихся немецкий сдали 75 человек, а английский - 83. Сколько экзаменовавшихся владеет обоими языками?

Для решения задачи используем метод множеств.

Обозначим:

• $A$ — множество школьников, сдавших экзамен по английскому языку.

• $B$ — множество школьников, сдавших экзамен по немецкому языку.

По условию задачи:

• Всего школьников 100 (поскольку изучали оба языка).

• 10 школьников не сдали ни тот, ни другой язык, то есть их не включаем в множества $A$ и $B$.

• Из оставшихся (100 - 10 = 90) школьников, 75 сдали немецкий язык, то есть $|B| = 75$.

• 83 сдали английский язык, то есть $|A| = 83$.

Нужно найти количество школьников, которые сдали оба языка, то есть $|A \cap B|$.

Используем формулу для объединения двух множеств:

Так как $|A \cup B| = 90$ (поскольку 10 человек не сдали ни одного языка), подставляем известные значения:

Решаем уравнение:

Ответ: 68 экзаменовавшихся владеют обоими языками.