Решение уравнения х4=-16

Для решения уравнения $x^4 = -16$ нужно учесть, что четвертая степень числа всегда неотрицательна для действительных чисел, то есть $x^4 \geq 0$ для всех действительных значений $x$. Следовательно, уравнение $x^4 = -16$ не имеет решений среди действительных чисел, так как правая часть уравнения отрицательная.

Однако, если расширить область решений до комплексных чисел, то можно решить это уравнение. Мы можем записать:

Здесь $-1$ можно выразить как $e^{i\pi}$ (с использованием формулы Эйлера), и уравнение примет вид:

Теперь найдем комплексные корни из 16 и $e^{i\pi}$. Модуль числа $16$ равен $\sqrt{16} = 2$, а аргумент $e^{i\pi}$ равен $\pi$, так что можно записать:

Так как $\sqrt[4]{16} = 2$, то получаем четыре решения для $x$:

1. $x_1 = 2 e^{i\pi/4} = 2 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$

2. $x_2 = 2 e^{i3\pi/4} = 2 \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = 2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}$

3. $x_3 = 2 e^{i5\pi/4} = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) = 2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\sqrt{2} - i\sqrt{2}$

4. $x_4=2e^{i7\pi \mathrm{/}4}=2(\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4})=2(<$