1. log3(x)-log9(x)=2 2.lg(x+6)-lg(корень из 2x-3)=lg4. 3. log3(x)+log3(x-1)=log3(6) 4.logx(2x^2-3x)=1 если можно, то на отдельном листе ^^

1. Решение уравнения log₃(x) - log₉(x) = 2

Для начала выразим log₉(x) через логарифм с основанием 3. Поскольку 9 = 3², то:

log₉(x) = log₃(x) / log₃(9) = log₃(x) / 2

Подставляем это в исходное уравнение:

log₃(x) - log₃(x) / 2 = 2

Домножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

2 * log₃(x) - log₃(x) = 4

Это упрощается до:

log₃(x) = 4

Теперь, чтобы избавиться от логарифма, возведем обе стороны в степень 3:

x = 3⁴ = 81

Ответ: x = 81.

2. Решение уравнения lg(x + 6) - lg(√(2x - 3)) = lg(4)

Используем свойство логарифмов: разность логарифмов — это логарифм отношения:

lg((x + 6) / √(2x - 3)) = lg(4)

Теперь, поскольку логарифмы с одинаковым основанием равны только тогда, когда их аргументы равны, получаем:

(x + 6) / √(2x - 3) = 4

Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

(x + 6)² = 16(2x - 3)

Раскроем скобки:

x² + 12x + 36 = 32x - 48

Переносим все в одну сторону:

x² + 12x + 36 - 32x + 48 = 0

Упрощаем:

x² - 20x + 84 = 0

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-20)² - 4 * 1 * 84 = 400 - 336 = 64

x = (20 ± √64) / 2 = (20 ± 8) / 2

x = (20 + 8) / 2 = 28 / 2 = 14

x = (20 - 8) / 2 = 12 / 2 = 6

Проверяем оба решения:

Для x = 14: lg(14 + 6) - lg(√(2 * 14 - 3)) = lg(20) - lg(√25) = lg(20) - lg(5) = lg(4), что верно.

Для x = 6: lg(6 + 6) - lg(√(2 * 6 - 3)) = lg(12) - lg(√9) = lg(12) - lg(3) = lg(4), что тоже верно.

Ответ: x = 14 и x = 6.

3. Решение уравнения log₃(x) + log₃(x - 1) = log₃(6)

Используем свойство логарифмов: сумма логарифмов — это логарифм произведения:

log₃(x * (x - 1)) = log₃(6)

Поскольку логарифмы с одинаковым основанием равны только тогда, когда их аргументы равны, получаем:

x(x - 1) = 6

Раскрываем скобки:

x² - x = 6

Переносим все в одну сторону:

x² - x - 6 = 0

Решаем это квадратное уравнение:

x = (-(-1) ± √((-1)² - 4 * 1 * (-6))) / 2 * 1 = (1 ± √(1 + 24)) / 2 = (1 ± √25) / 2

x = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3

x = (1 - 5) / 2 = -4 / 2 = -2

Проверяем решения: x = 3 и x = -2.

Для x = 3: log₃(3) + log₃(3 - 1) = log₃(6), что верно.

Для x = -2: log₃(-2) — невозможно, так как логарифм отрицательного числа не существует.

Ответ: x = 3.

4. Решение уравнения logₓ(2x² - 3x) = 1

По определению логарифма: если logₓ(a) = 1, то x¹ = a. Это означает, что:

2x² - 3x = x

Переносим все в одну сторону:

2x² - 3x - x = 0

Упрощаем:

2x² - 4x = 0

Вынесем x за скобки:

x(2x - 4) = 0

Решаем это уравнение:

x = 0 или 2x - 4 = 0

Если 2x - 4 = 0, то x = 2.

Проверяем: для x = 0 logₓ(2x² - 3x) = log₀(0), что невозможно, так как логарифм с основанием 0 не существует.

Ответ: x = 2.