В выражении (a+b+c+d)2 перед некоторыми (не всеми) из переменных a, b, c, d поставили знак «−», после чего раскрыли скобки и привели подобные слагаемые. При скольких слагаемых в полученной сумме может стоять отрицательный знак?

Чтобы разобраться, сколько отрицательных слагаемых может получиться после раскрытия скобок и приведения подобных в выражении $(a + b + c + d)^2$, начнем с того, что исходное выражение — это квадрат суммы. При раскрытии скобок мы должны использовать формулу квадрата суммы:

Здесь все слагаемые будут положительными, потому что квадраты ($a^2$, $b^2$, $c^2$, $d^2$) всегда положительны, а также произведения (например, $2ab$) тоже положительны, если все переменные $a, b, c, d$ положительны.

Теперь представим, что перед некоторыми из переменных $a$, $b$, $c$, $d$ поставили знак минус. Это означает, что при раскрытии скобок произведения, содержащие эти переменные, могут стать отрицательными.

Рассмотрим возможные варианты:

1. Если изменили знак одной переменной. Допустим, изменили знак только у $a$, то теперь вместо $a$ у нас $-a$. При раскрытии скобок в выражении $(a - b + c + d)^2$, квадрат $(-a)^2 = a^2$ останется положительным, но все произведения, содержащие $a$ (например, $2ab$, $2ac$, $2ad$), станут отрицательными, так как $a$ будет отрицательным. Таким образом, у нас будет 3 отрицательных слагаемых.

2. Если изменили знак двух переменных. Пусть изменили знак у двух переменных, например, у $a$ и $b$. Тогда $a$ и $b$ будут отрицательными, и их квадраты останутся положительными ($(-a)^2 = a^2$, $(-b)^2 = b^2$). Однако произведения, где участвуют $a$ или $b$ (например, $2ab$, $2ac$, $2ad$, $2bc$, $2bd$) станут отрицательными. В таком случае отрицательными станут 6 произведений.

3. Если изменили знак у трёх переменных. Изменим знак у трёх переменных, скажем, у $a$, $b$ и $c$. В этом случае все квадраты переменных останутся положительными, но произведения, где участвуют $a$, $b$ или $c$, будут отрицательными. Это произведения $2ab$, $2ac$, $2ad$, $2bc$, $2bd$, $2cd$, то есть всего 9 отрицательных слагаемых.

4. Если изменили знак у всех четырёх переменных. Если все переменные $a$, $b$, $c$, $d$ заменены на отрицательные, то их квадраты останутся положительными, а все парные произведения будут отрицательными. Это означает, что все 6 произведений второго порядка (типа $2ab$, $2ac$) будут отрицательными.

Ответ:

В зависимости от того, сколько переменных изменило знак, количество отрицательных слагаемых может быть:

• 3 (если изменили знак одной переменной),
• 6 (если изменили знак двух переменных),
• 9 (если изменили знак трёх переменных).

Таким образом, в полученной сумме может быть 3, 6 или 9 отрицательных слагаемых.