Найдите наименьшее значение выражения и значения \( x \) и \( y \), при которых оно достигается: \[ |6x + y + 5| + |3x + 2y + 1| \]

Для того чтобы найти наименьшее значение выражения $|6x + y + 5| + |3x + 2y + 1|$, рассмотрим два модуля в выражении, каждый из которых зависит от $x$ и $y$. Поскольку модуль функции всегда неотрицателен, то минимизация суммы этих модулей будет происходить, когда оба выражения внутри модулей приблизятся к нулю.

Шаг 1: Разбираем выражения внутри модулей

Для начала решим систему уравнений, которая обеспечит минимизацию каждого модуля.

1. $6x + y + 5 = 0$

2. $3x + 2y + 1 = 0$

Шаг 2: Решение системы уравнений

Решим систему из двух линейных уравнений:

1. Из первого уравнения выразим $y$:

   $$y = -6x - 5$$

2. Подставим это значение $y$ во второе уравнение:

   $$3x + 2(-6x - 5) + 1 = 0$$

   Упростим:

   $$3x - 12x - 10 + 1 = 0$$ $$-9x - 9 = 0$$ $$-9x = 9$$ $$x = -1$$

3. Подставим $x = -1$ в выражение для $y$:

   $$y = -6(-1) - 5 = 6 - 5 = 1$$

Шаг 3: Проверка минимального значения

Теперь подставим найденные значения $x = -1$ и $y = 1$ в исходное выражение:

Подставляем $x = -1$ и $y = 1$:

Таким образом, наименьшее значение выражения равно 0, и оно достигается при $x = -1$ и $y = 1$.