Учитель написал на доске натуральное число. Руслан заметил, что при делении на 4 оно даёт остаток 2;
при делении на 6 оно даёт остаток 4;
при делении на 7 оно даёт остаток 5.
Какое наименьшее значение может принимать число, написанное на доске?

Чтобы найти наименьшее натуральное число, которое соответствует заданным условиям, мы можем воспользоваться методом решения системы сравнений с остатками.

Нам известно следующее:

1. При делении на 4 остаток 2:

   $$x \equiv 2 \pmod{4}$$

2. При делении на 6 остаток 4:

   $$x \equiv 4 \pmod{6}$$

3. При делении на 7 остаток 5:

   $$x \equiv 5 \pmod{7}$$

Теперь мы можем решить эту систему уравнений по очереди. Начнем с первого и второго уравнений.

Шаг 1: Решаем первое и второе уравнения

Решение первого уравнения можно записать как:

где $k$ — целое число.

Подставим это выражение во второе уравнение:

Упростим его:

Заметим, что $4 \equiv -2 \pmod{6}$, поэтому можем записать:

Умножим обе стороны на $3$ (обратное значение 2 по модулю 6):

Таким образом, $k$ можно выразить как:

Теперь подставим это обратно в уравнение для $x$:

Шаг 2: Подставляем в третье уравнение

Теперь подставим полученное значение $x = 12m + 10$ в третье уравнение:

Упрощаем:

Так как $12 \equiv 5 \pmod{7}$, у нас получается:

Теперь нужно найти обратное значение к 5 по модулю 7. Мы можем проверить, что $5 \cdot 3 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$. Значит, обратное значение 5 по модулю 7 — это 3.

Умножаем обе стороны уравнения на 3:

То есть:

Шаг 3: Подставляем обратно в уравнение для $x$

Подставим $m$ обратно в уравнение для $x$:

Шаг 4: Наименьшее значение

Наименьшее значение $x$ получим, если положим $n = 0$:

Ответ

Таким образом, наименьшее натуральное число, которое написано на доске, равно 82.