Sin 2x =- корень 2/2

Решим уравнение

1. Вспоминаем, при каких углах синус равен $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Значения

встречаются при "угле-образце" $\frac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$).

Конкретно:

• $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$,

• $\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$,

• $\sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$,

• $\sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Нас интересует именно отрицательное значение: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Находим общие решения для угла $2x$

Пусть

Тогда уравнение превращается в:

Как уже отметили, синус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ в III и IV четвертях при углах:

1. $t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$,

2. $t = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$,

где $k \in \mathbb{Z}$ (любое целое число).

Заметим, что угол $\frac{7\pi}{4}$ можно записать как $-\frac{\pi}{4} + 2\pi$. Поэтому второе семейство решений можно упростить:

А так как $k$ пробегает все целые, то $k+1$ — тоже все целые. Значит, второе семейство можно переписать как:

Итак, для $t = 2x$ имеем два семейства решений:

1. $$2x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k,$$
2. $$2x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k,$$

где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Возвращаемся к $x$

Делим оба уравнения на 2:

1. Из $2x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$