sin²x - 2sinxcosx = 3cos²x

Решу уравнение

Перенесу всё в одну сторону:

Замечу, что это можно рассматривать как квадратный трёхчлен относительно $\sin x$ и $\cos x$. Попробуем разложить на множители. Ищем представление вида

Раскроем скобки:

Сравниваем с нашим выражением:

Тогда получаем систему:

Пара чисел, дающих сумму $-2$ и произведение $-3$, — это $a = 1$, $b = -3$ (или наоборот). Значит,

Наше уравнение превращается в:

Дальше решаем два простых уравнения.

1) $\sin x + \cos x = 0$

Переносим:

Если $\cos x \neq 0$, можно разделить обе части на $\cos x$:

Общее решение:

(Можно записать и как $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, это то же самое семейство решений.)

Проверка случая $\cos x = 0$: при $\cos x = 0$ имеем $\sin x = \pm 1$, тогда $\sin x + \cos x = \pm 1 + 0 \neq 0$. Значит, эти точки не подходят, и общее решение именно такое, как выше.

2) $\sin x - 3\cos x = 0$

Переносим:

Опять же, при $\cos x \neq 0$ делим на $\cos x$:

Общее решение:

Здесь $\cos x = 0$ снова не подходит, потому что тогда левая часть вообще не определена как отношение, но в исходном уравнении при $\cos x = 0$ легко проверить:
если $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то $\sin^2 x = 1$, $\cos x = 0$, и уравнение даёт $1 = 0$, что неверно. Так что дополнительных решений нет.

Итоговый ответ

Объединяем решения из двух случаев: