Каждая грань куба окрашена в белый или чёрный цвет. Докажите, что найдутся две грани с общим ребром, окрашенные в один цвет.

Предположим, что каждая грань куба окрашена в белый или чёрный цвет, и будем искать две грани с общим ребром, окрашенные в один и тот же цвет.

У куба 6 граней, и на каждой грани 4 ребра. Из этого следует, что существует 12 рёбер у куба (так как 6 граней × 4 рёбер на грань / 2, чтобы не учитывать каждое ребро дважды). Нам нужно доказать, что среди этих 12 рёбер найдутся два, которые принадлежат граням одного цвета.

Предположим, что такое утверждение неверно. Это значит, что все рёбра, которые имеют общие грани, окрашены в разные цвета. Рассмотрим пары рёбер, имеющие общую грань. Для каждой такой пары одна грань будет белой, а другая — чёрной. Но у куба есть 3 оси симметрии (каждая ось — это линия, проходящая через центр куба и соединяющая две противоположные грани), и через каждую ось проходят 2 противоположные грани, которые должны быть окрашены в разные цвета. Однако это приводит к противоречию, поскольку для каждой оси симметрии будет как минимум 1 пара рёбер, которые не могут быть окрашены в разные цвета, как предполагает исходное допущение.

Таким образом, наше первоначальное предположение (о том, что все рёбра, имеющие общие грани, будут окрашены в разные цвета) неверно. Следовательно, существуют две грани с общим ребром, окрашенные в один и тот же цвет.