Из маленьких кубиков собрали параллелепипед. Его покрасили снаружи со всех сторон. Когда краска высохла, параллелепипед разобрали на кубики. Сколько получилось кубиков, у которых окрашена одна грань?

Для решения задачи давайте разобьем её на несколько шагов.

Предположим, что параллелепипед состоит из кубиков размером 1x1x1. Пусть размеры параллелепипеда — это $a \times b \times c$, где $a$, $b$ и $c$ — целые числа, определяющие количество кубиков вдоль каждой оси. Тогда весь параллелепипед состоит из $a \cdot b \cdot c$ кубиков.

Краска покрывает только внешние грани параллелепипеда. Таким образом, нас интересуют кубики, которые находятся на внешней поверхности, но не на рёбрах и углах. Эти кубики имеют только одну окрашенную грань.

1. Кубики с одной окрашенной гранью

Для каждого из трёх типов граней параллелепипеда (два типа граней, параллельных каждой из осей), есть внутреннее пространство, которое не подвергается окрашиванию. Поэтому кубики с одной окрашенной гранью находятся внутри этих граней.

Например, на грань, расположенную на плоскости $x = 1$, краска попадёт только на кубики, которые находятся на её поверхности, но не на рёбрах, где встречаются другие грани.

2. Формулы для количества таких кубиков

• Для граней, параллельных плоскости $xy$ (вдоль оси $z$): на каждой такой грани будет $(a-2)(b-2)$ кубиков с одной окрашенной гранью. Они расположены по внутренней части каждой грани.

• Аналогично, для граней, параллельных плоскости $xz$, будет $(a-2)(c-2)$ кубиков с одной окрашенной гранью.

• И для граней, параллельных плоскости $yz$, будет $(b-2)(c-2)$ кубиков с одной окрашенной гранью.

3. Итоговое количество

Таким образом, общее количество кубиков с одной окрашенной гранью будет равно:

Здесь множитель 2 появляется, потому что параллелепипед имеет по две противоположные грани для каждой из трёх пар осей.

Это и есть окончательная формула для вычисления количества кубиков с одной окрашенной гранью.