Sin2x=2sin^2(x-3п/2) решить уравнение

Чтобы решить уравнение $\sin(2x) = 2\sin^2\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)$, выполните следующие шаги:

1. Упростим правую часть уравнения. Для этого воспользуемся свойствами синуса:

   $$\sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos(x),$$

   так как $\sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos(x)$ — это стандартное тригонометрическое тождество. Таким образом, уравнение принимает вид:

   $$\sin(2x) = 2\cos^2(x).$$

2. Используем формулу для синуса удвоенного угла. Известно, что $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Подставим это в уравнение:

   $$2\sin(x)\cos(x) = 2\cos^2(x).$$

3. Упростим уравнение. Разделим обе части уравнения на 2 (при условии, что $\cos(x) \neq 0$):

   $$\sin(x)\cos(x) = \cos^2(x).$$

4. Преобразуем уравнение. Переносим все члены в одну сторону:

   $$\sin(x)\cos(x) - \cos^2(x) = 0.$$

   Вынесем общий множитель $\cos(x)$:

   $$\cos(x)(\sin(x) - \cos(x)) = 0.$$

5. Решаем два уравнения:

   • $\cos(x) = 0$. Это уравнение дает решение:

     $$x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

   • $\sin(x) - \cos(x) = 0$. Это уравнение можно переписать как:

     $$\sin(x) = \cos(x).$$

     Делим обе части на $\cos(x)$ (при условии, что $\cos(x) \neq 0$):

     $$\tan(x) = 1.$$

     Решение этого уравнения:

     $$x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

6. Подводим итог. Общие решения уравнения $\sin(2x) = 2\sin^2\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)$ можно записать как:

   $$x = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}.$$