а) Решить уравнение 1/sin²x - 1/sinx = 2 б) Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку [-5π/2; -3π/2]

Рассмотрим уравнение:

а) Решить уравнение:

Введём замену:

Подставим:

Приведём к квадратному уравнению:

Решим его по формуле:

Получаем два корня:

Теперь вернёмся к переменной $\sin x$. Так как $y = \frac{1}{\sin x}$, то:

• При $y = 2$ → $\sin x = \frac{1}{2}$

• При $y = -1$ → $\sin x = -1$

Найдём значения $x$, при которых это выполняется.

Решение $\sin x = \frac{1}{2}$:

Синус равен $\frac{1}{2}$ при:

Решение $\sin x = -1$:

Синус равен -1 при:

б) Найти все корни уравнения на промежутке $[-5\pi/2; -3\pi/2]$:

Рассмотрим каждое решение отдельно и подберём подходящие значения $n$, чтобы $x$ попадал в указанный промежуток.

1. $\sin x = \frac{1}{2}$:

Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$:

Ищем $n$, чтобы $x \in [-5\pi/2, -3\pi/2] = [-2.5\pi, -1.5\pi]$

Проверим:

• При $n = -2$: $x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = \frac{\pi - 24\pi}{6} = \frac{-23\pi}{6} \approx -3.83\pi$ — слишком мало

• При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = \frac{-11\pi}{6} \approx -1.83\pi \in [-2.5\pi, -1.5\pi]$