2cos²x + sin2x = 2 решить тригонометрическое уравнение

Для решения тригонометрического уравнения $2\cos^2x + \sin 2x = 2$ начнем с преобразования уравнения, используя известные тригонометрические тождества.

1. Вспомним тождество для синуса удвоенного угла:

Таким образом, уравнение примет вид:

2. Теперь упростим это уравнение, поделив обе его части на 2:

3. Попробуем решить это уравнение. Для удобства, заметим, что $\sin x \cos x$ можно представить через $\sin 2x$, но в данной форме это не помогает. Попробуем заменить $\cos^2 x$ через $1 - \sin^2 x$ (используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$):

4. Упростим это уравнение:

или

5. Теперь можно выделить $\sin x$ из левой части уравнения:

6. Это уравнение дает два возможных решения:

   • $\sin x = 0$, что означает $x = n\pi$, где $n$ — целое число.

   • $\cos x = \sin x$, что приводит к $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, где $k$ — целое число.

Итак, решения уравнения $2\cos^2x + \sin 2x = 2$ — это:

где $n$ и $k$ — целые числа.