1) $\;\sin7x-\sin3x=0$

\sin7x-\sin3x=2\cos\frac{7x+3x}{2}\,\sin\frac{7x-3x}{2} =2\cos5x\,\sin2x=0.

Отсюда

\cos5x=0\quad \text{или}\quad \sin2x=0.

$\cos5x=0\Rightarrow 5x=\frac{\pi}{2}+\pi k\Rightarrow x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi}{5}k$ .
$\sin2x=0\Rightarrow 2x=\pi k\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}k$ .

Итак,

\boxed{\,x=\frac{\pi}{2}k\quad \text{или}\quad x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi}{5}k,\; k\in\mathbb Z\, }.

2) $\;\cos7x=2\sin3x$

Удобно свести к одной функции по углам $5x$ и $2x$ :

\begin{aligned} \cos7x&=\cos(5x+2x)=\cos5x\cos2x-\sin5x\sin2x,\\ \sin3x&=\sin(5x-2x)=\sin5x\cos2x-\cos5x\sin2x. \end{aligned}

Тогда

\cos5x(\cos2x+2\sin2x)=\sin5x(2\cos2x+\sin2x),

и, при $\cos2x+2\sin2x\neq0$ ,

\tan5x=\frac{2\cos2x+\sin2x}{\cos2x+2\sin2x} =\frac{2+\tan2x}{1+2\tan2x}.

Явной «красивой» формулы для всех решений тут не получается; решения удобнее задавать по корням на периоде $2\pi$ . На $[0,2\pi)$ ровно шесть корней:

\boxed{ \begin{aligned} x&\approx 0.116560393,\; 0.875051565,\; 2.054256108,\\ &\quad 3.258153046,\; 4.016644219,\; 5.195848762 \end{aligned}}

и далее $x\mapsto x+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$ .

(Проверка: подстановка любого из этих значений даёт $\cos7x-2\sin3x=0$ с машинной точностью.)

Перенесём синусы в одну сторону и применим формулу суммы:

2\cos2x=\sin7x+\sin3x =2\sin\frac{7x+3x}{2}\cos\frac{7x-3x}{2} =2\sin5x\cos2x.

Отсюда

2\cos2x\,(1-\sin5x)=0.

Значит,

\cos2x=0 \quad \text{или}\quad \sin5x=1.

$\cos2x=0\Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi k\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k$

Последние заданные вопросы в категории Математика