Найти тригонометрическую и показательную формы комплексного числа \( z = 1 - 2i \).

Для нахождения тригонометрической и показательную формы комплексного числа $z = 1 - 2i$, будем следовать пошагово.

1. Нахождение модуля комплексного числа $z$:

Комплексное число $z = a + bi$, где $a$ — действительная часть, а $b$ — мнимая часть. В данном случае $a = 1$, а $b = -2$.

Модуль $r$ комплексного числа вычисляется по формуле:

Подставим значения:

2. Нахождение аргумента комплексного числа $\theta$:

Аргумент комплексного числа $\theta$ можно найти с помощью арктангенса, но важно учитывать, в какой четверти находится число. В нашем случае $a = 1$ и $b = -2$, значит, комплексное число расположено в IV четверти (положительное действительное, отрицательное мнимое).

Аргумент $\theta$ можно вычислить через арктангенс:

Значение $\arctan(-2)$ примерно равно $-1.107$ радиан. Однако, так как число находится в IV четверти, аргумент будет равен:

3. Тригонометрическая форма комплексного числа:

Тригонометрическая форма комплексного числа записывается как:

Подставим $r = \sqrt{5}$ и $\theta = -1.107$:

4. Показательная форма комплексного числа:

Показательная форма комплексного числа выражается через формулу Эйлера:

Подставим $r = \sqrt{5}$ и $\theta = -1.107$:

Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа $z = 1 - 2i$ выглядит как:

А его показательную форму можно записать как: