Верно ли при любом x неравенство: а) 4ч(x+0.25)>(2x+3)(2x-3)

Чтобы ответить на данный вопрос, давайте шаг за шагом проанализируем оба выражения и проверим, верно ли неравенство при любом значении $x$.

Дано неравенство:

1. Упростим правую часть:

Это разность квадратов:

Таким образом, неравенство принимает вид:

2. Проверим значение под квадратным корнем:
Чтобы выражение $\sqrt{x + 0.25}$ было определено, должно выполняться условие $x + 0.25 \geq 0$, то есть:

3. Исследуем неравенство для различных значений $x$:

• Для $x = 0$:
  Подставляем $x = 0$ в неравенство:

  $$4 \cdot \sqrt{0 + 0.25} = 4 \cdot \sqrt{0.25} = 4 \cdot 0.5 = 2$$

  Правая часть:

  $$4x^2 - 9 = 4 \cdot 0^2 - 9 = -9$$

  Получаем:

  $$2 > -9$$

  Это верно.

• Для $x = 1$:
  Подставляем $x = 1$ в неравенство:

  $$4 \cdot \sqrt{1 + 0.25} = 4 \cdot \sqrt{1.25} \approx 4 \cdot 1.118 = 4.472$$

  Правая часть:

  $$4 \cdot 1^2 - 9 = 4 - 9 = -5$$

  Получаем:

  $$4.472 > -5$$

  Это также верно.

• Для $x = -1$:
  Подставляем $x = -1$ в неравенство:

  $$4 \cdot \sqrt{-1 + 0.25} = 4 \cdot \sqrt{-0.75}$$

  В этом случае выражение под квадратным корнем отрицательное, и $\sqrt{-0.75}$ не существует в области действительных чисел.

4. Заключение:

Неравенство $4 \cdot \sqrt{x + 0.25} > 4x^2 - 9$ верно только для значений $x \geq -0.25$, при этом для $x = -1$ оно не выполняется, поскольку под квадратным корнем возникает отрицательное число.

Ответ: неравенство верно не для всех $x$, а только для $x \geq -0.25$, при этом для некоторых значений $x$, например $x = -1$, оно не имеет смысла.