Как сравнить дроби с "промежуточным числом" и как найти это число? 11/18 и 10/23

Можно сравнить дроби через “промежуточное число” — удобную простую дробь, к которой обе сравниваемые дроби легко сравниваются. Чаще всего таким числом берут $\tfrac12$, потому что проверить “больше/меньше половины” просто.

Для $\frac{11}{18}$ и $\frac{10}{23}$ возьмём промежуточное число $\tfrac12$.

Как быстро понять, больше ли дробь, чем $\tfrac12$:
сравниваем $2\cdot$числитель с знаменателем (это эквивалентно сравнению $\frac{a}{b}$ и $\frac12$).

• Для $\frac{11}{18}$: $2\cdot 11 = 22$, а знаменатель $18$. Поскольку $22>18$, имеем $\frac{11}{18} > \frac12$.

• Для $\frac{10}{23}$: $2\cdot 10 = 20$, а знаменатель $23$. Поскольку $20<23$, имеем $\frac{10}{23} < \frac12$.

Итак,

значит

Как “найти” подходящее промежуточное число в общем случае:

1. Сначала пробуйте $\tfrac12$ (самая удобная опора).

2. Если обе дроби по одну сторону от $\tfrac12$, можно попробовать другие простые ориентиры: $\tfrac13,\ \tfrac23,\ \tfrac34,\ \tfrac25$ и т.п. — выбирайте ту, к которой легко сравнить: проверяйте $3a$ и $b$ для $\tfrac13$, $3a$ и $2b$ для $\tfrac23$, $4a$ и $3b$ для $\tfrac34$ и т.д.

3. Ещё один способ “сконструировать” промежуточную дробь — медиана (средняя по Фарея): $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ имеют между собой дробь $\frac{a+c}{b+d}$. Например, между $\frac{11}{18}$ и $\frac{10}{23}$ лежит $\frac{21}{41}$, и её тоже можно использовать как промежуточную.