Решить неравенство \(4^x - 2^{x+1} - 8 > 0\).

Решим неравенство $4^x - 2^{x+1} - 8 > 0$.

Шаг 1. Преобразуем выражение с $4^x$

Мы знаем, что $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$. Таким образом, неравенство можно переписать как:

Шаг 2. Введем замену

Для упрощения решения, введем замену:

Тогда $2^{2x} = (2^x)^2 = y^2$, и неравенство становится:

Шаг 3. Решим полученное квадратное неравенство

Теперь решим квадратное неравенство $y^2 - 2y - 8 > 0$.

Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 - 2y - 8 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $\Delta$ для уравнения $ay^2 + by + c = 0$ вычисляется по формуле:

В нашем случае $a = 1$, $b = -2$, $c = -8$, следовательно:

Корни уравнения находятся по формуле:

Подставляем значения:

Таким образом, получаем два корня:

Шаг 4. Исследуем знак выражения

Теперь, зная корни $y_1 = 4$ и $y_2 = -2$, можем исследовать знак выражения $y^2 - 2y - 8$ на интервалах, определяемых этими корнями: $(-\infty, -2)$, $(-2, 4)$, $(4, \infty)$.

• Для $y < -2$ выражение $y^2 - 2y - 8$ положительное (так как парабола открывается вверх).

• Для $-2 < y < 4$ выражение $y^2 - 2y - 8$ отрицательное.

• Для $y > 4$ выражение $y^2 - 2y - 8$ снова положительное.

Таким образом, неравенство $y^2 - 2y - 8 > 0$ выполняется при $y < -2$ или $y > 4$.

Шаг 5. Переводим обратно в переменную $x$

Напомним, что $y = 2^x$, и $2^x$ всегда положительно, то есть $2^x > 0$ для всех $x$. Это значит, что решение неравенства $y^2 - 2y - 8 > 0$