Найти значения x, при которпроизводнойотрицательны функции f (x)=1-x/x^2+8 отрицательны.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых производная функции $f(x) = \frac{1 - x}{x^2 + 8}$ отрицательна, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции $f(x)$:

   Для этого будем использовать правило дифференцирования частного. Пусть $u(x) = 1 - x$ и $v(x) = x^2 + 8$. Тогда производная функции $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ будет по формуле:

   $$f'(x) = \frac{v(x) \cdot u'(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}$$

   Где:

   • $u'(x) = -1$,

   • $v'(x) = 2x$.

   Подставляем эти выражения в формулу:

   $$f'(x) = \frac{(x^2 + 8) \cdot (-1) - (1 - x) \cdot (2x)}{(x^2 + 8)^2}$$

   Упростим числитель:

   $$f'(x) = \frac{-(x^2 + 8) - 2x(1 - x)}{(x^2 + 8)^2}$$

   Раскроем скобки:

   $$f'(x) = \frac{-x^2 - 8 - 2x + 2x^2}{(x^2 + 8)^2}$$

   Сложим похожие члены:

   $$f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x^2 + 8)^2}$$

2. Найдем, при каких значениях $x$ производная отрицательна.

   Чтобы производная $f'(x)$ была отрицательной, числитель должен быть отрицательным, так как знаменатель всегда положителен (поскольку $x^2 + 8 > 0$ для всех $x$).

   То есть нужно решить неравенство:

   $$x^2 - 2x - 8 < 0$$

3. Решим неравенство:

   Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ с помощью дискриминанта:

   $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

   Корни уравнения:

   $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2}$$

   То есть $x = \frac{2 + 6}{2} = 4$ и $x = \frac{2 - 6}{2} = -2$.

   Квадратное неравенство $x^2 - 2x - 8 < 0$ имеет вид:

   $$(x - 4)(x + 2) < 0$$

   Это неравенство выполняется, когда $x$ находится между корнями:

   $$-2 < x < 4$$

Таким образом, производная функции $f(x)$ отрицательна на интервале $(-2, 4)$.