Почему синус (180+альфа) = - синус альфа?

Короткий ответ: потому что прибавление $180^\circ$ (или $\pi$ радиан) к углу переворачивает точку на единичной окружности в противоположную через центр, а у синуса меняется знак как у координаты $y$.

Чуть подробнее несколькими способами.

1) Через формулу суммы углов

Возьмём стандартную формулу:

Положим $\beta=\pi$ ($180^\circ$). Тогда $\sin\pi=0$ и $\cos\pi=-1$:

2) Геометрическая картинка на единичной окружности

Синус угла — это $y$-координата точки на единичной окружности. Прибавление $180^\circ$ переносит точку в диаметрально противоположную. Координаты меняются $(x,y)\mapsto(-x,-y)$. Значит $y$-координата (то есть $\sin$) меняет знак: $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$.

3) Через нечётность и периодичность

Синус — нечётная функция: $\sin(-x)=-\sin x$, и $2\pi$-периодическая: $\sin(x+2\pi)=\sin x$.
Заметим, что $\pi+\alpha = -(\pi-\alpha)+2\pi$. Тогда

А $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$ (второй квадрант, синус сохраняет знак и модуль). Получаем $-\sin\alpha$.

4) По четвертям

$\alpha$ (в первом приближении) лежит в каком-то квадранте, $\pi+\alpha$ — в третьем, где синус всегда отрицателен и по модулю равен синусу соответствующего острого угла $\alpha$. Значит знак «–», модуль тот же: $-\sin\alpha$.

Итог: во всех подходах выходит одно и то же тождество