Изобразите на единичной окружности точки, соответствующие всем углам альфа, для каждого из которых справедливо равенство: a) sin альфа= корень из трех/2; б) sin альфа= -1/2; в) cos альфа=1; г) cos альфа= - корень из 2/2. Запишите все такие углы альфа

На единичной окружности, где радиус равен 1, углы $\alpha$ определяются в радианах (или градусах), и тригонометрические функции $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ отражают вертикальную и горизонтальную координаты точки на окружности. Разберем каждый случай отдельно.

а) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ достигается при углах, где вертикальная координата точки на окружности равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это происходит в первой и второй четвертях, так как там $\sin$ положителен.

Углы:

1. $\alpha = \frac{\pi}{3}$ (первая четверть)
2. $\alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ (вторая четверть)

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$.

б) $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$

Значение $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$ достигается, когда вертикальная координата точки на окружности равна $-\frac{1}{2}$. Это происходит в третьей и четвертой четвертях, так как там $\sin$ отрицателен.

Углы:

1. $\alpha = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ (третья четверть)
2. $\alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ (четвертая четверть)

Ответ: $\alpha = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.

в) $\cos \alpha = 1$

Значение $\cos \alpha = 1$ достигается, когда горизонтальная координата точки на окружности равна $1$. Это происходит только на положительной оси $x$.

Угол:

1. $\alpha = 0$

Ответ: $\alpha = 0$.

г) $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Значение $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ достигается, когда горизонтальная координата точки на окружности равна $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это происходит во второй и третьей четвертях, так как там $\cos$ отрицателен.

Углы:

1. $\alpha = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ (вторая четверть)
2. $\alpha = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ (третья четверть)

Ответ: $\alpha = \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.

Итоговый ответ:

а) $\alpha = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$
б) $\alpha = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$