Делится ли число 30! на: а) 90; б) 92; в) 94; г) 96?

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте рассмотрим факториал числа 30 (обозначается как 30!), то есть произведение всех целых чисел от 1 до 30:

$30! = 30 \times 29 \times 28 \times \dots \times 1$

Вопрос состоит в том, делится ли число $30!$ на следующие числа: 90, 92, 94 и 96.

a) 90

Число 90 можно разложить на простые множители:
$90 = 2 \times 3^2 \times 5$

Теперь нужно проверить, входят ли эти множители в состав числа $30!$.

• Число 2 встречается в числе $30!$ множество раз, так как среди множителей есть все четные числа (например, 2, 4, 6, 8, …).

• Число 3 встречается в $30!$ несколько раз, так как среди множителей есть числа, кратные 3 (например, 3, 6, 9, …).

• Число 5 также входит в $30!$, так как среди множителей есть числа, кратные 5 (например, 5, 10, 15, 20, 25, 30).

Таким образом, число $30!$ делится на 90.

б) 92

Число 92 можно разложить на простые множители:
$92 = 2^2 \times 23$

Проверим, входят ли эти множители в состав числа $30!$.

• Число 2 встречается в $30!$ несколько раз, так как среди множителей есть четные числа.

• Число 23 также встречается в $30!$, так как 23 — это простое число, и оно входит в произведение всех чисел от 1 до 30.

Таким образом, число $30!$ делится на 92.

в) 94

Число 94 можно разложить на простые множители:
$94 = 2 \times 47$

Проверим, входят ли эти множители в состав числа $30!$.

• Число 2 присутствует в $30!$, так как среди множителей есть четные числа.

• Однако число 47 больше 30, и оно не входит в $30!$, так как в произведении чисел от 1 до 30 нет множителя, равного 47.

Таким образом, число $30!$ не делится на 94.

г) 96

Число 96 можно разложить на простые множители:
$96 = 2^5 \times 3$

Проверим, входят ли эти множители в состав числа $30!$.

• Число 2 встречается в $30!$ множество раз, так как среди множителей есть все четные числа.

• Число 3 также входит в $30!$, так как среди множителей есть все кратные 3 (например, 3, 6, 9, …).

Таким образом, число $30!$ делится на 96.

Ответ:

• Число $30!$ делится на 90, 92 и 96.

• Число $30!$ не делится на 94.